LISTA DE POLIEDROS CONVEXOS E SUAS RELAÇÕES 2 ª CERTIFICAÇÃO – 2 º ANO DO ENSINO MÉDIO INTEGRADO
Professor : AMORIM
Turma : _________ - _______º turno Nome : _____________________________________________________________ n º ___________
Estudo dos Poliedros Convexos Denotando por :
– F o total de faces ; – A o total de arestas ; – V o total de vértices ; – S F o total dos ângulos internos de todas as faces ; – F n o total de faces com n lados ; – V n o total de vértices formado por n arestas ; as igualdades a seguir são válidas para todos os poliedros convexos :
F = F 3 + F 4 + F 5 + F 6 + ⋯ V = V 3 + V 4 + V 5 + V 6 + ⋯
2A = { 3F 3 + 4F 4 + 5F 5 + ⋯
3V 3 + 4V 4 + 5V 5 + ⋯ S F = ( V − 2 ) ⋅ 360 ° = ( A − F ) ⋅ 360 ° V + F = A + 2 [ Relação de Euler ]
Poliedros de Platão A figura abaixo traz exemplos de poliedros regulares ( todas as faces congruentes ), mas não há essa necessidade para que o sólido seja de Platão , basta que as faces e vértices sejam do mesmo tipo .
Exercícios 1 ) Um poliedro convexo de 15 arestas tem somente faces quadrangulares e pentagonais . Quantas faces têm de cada tipo se a soma dos ângulos das faces é de 32 ângulos retos ?
2 ) Determine o número de vértices de um poliedro convexo que tem 3 faces triangulares , 1 face quadrangular , 1 pentagonal e 2 hexagonais .
3 ) Num poliedro convexo de 10 arestas , o número de faces é igual ao número de vértices . Quantas faces têm esse poliedro ?
4 ) Um poliedro convexo apresenta faces quadrangulares e triangulares . Calcule o número de faces desse poliedro , sabendo que o número de arestas é o quádruplo do número de faces triangulares e o número de faces quadrangulares é igual a 5 .
5 ) Determine o número de vértices , arestas e faces de um poliedro convexo formado por 5 ângulos triedros , sete ângulos tetraédricos , nove ângulos pentaédricos e oito ângulos hexaédricos .
6 ) ( UERJ ) Um icosaedro regular tem 20 faces e 12 vértices , a partir dos quais se retiram 12 pirâmides congruentes . As medidas das arestas dessas pirâmides são iguais a da aresta do icosaedro . O que resta é um tipo de poliedro usado na fabricação de bolas . Observe as figuras .
Nome |
F |
A |
V |
Tetraedro |
4 |
6 |
4 |
Hexaedro |
6 |
12 |
8 |
Octaedro |
8 |
12 |
6 |
Dodecaedro |
12 |
30 |
20 |
Icosaedro |
20 |
30 |
12 |
Para confeccionar uma bola de futebol , um artesão usa esse novo poliedro , no qual cada gomo é uma face . Ao costurar dois gomos para unir duas faces do poliedro , ele gasta 7cm de linha . Depois de pronta a bola , o artesão gastou , no mínimo , um comprimento de linha igual a :
( A ) 7,0 m |
( B ) 6,3 m |
( C ) 4,9 m |
( D ) 2,1 m |
PROF .: AMORIM
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